DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar a la distribución de frecuencias relativas .Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de distribución de probabilidades.

En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diversos tipos de distribución probabilística, caracterizaremos cada distribución, la fundamentación matemática de los diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; sólo me limitaré al estudio descriptivo de la distribución de probabilidades discretas.




COPIA el enlace de abajo para descargar más información de distribuciones de probabilidad así como algunos ejemplos ya resueltos...


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Métodos de conteo...

Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento. Entre estos métodos destacan el método del producto y el método del diagrama de árbol.



Método del producto

Es un método analítico de conteo que consiste en descomponer el experimento en otros más simples, y multiplicar el número de posibilidades de cada uno de éstos para calcular las posibilidades totales.



Método del diagrama de árbol

Es un método gráfico de conteo que consiste en marcar, como si fueran rutas o las ramas de un árbol, las posibilidades que aparecen en cada uno de los experimentos simples en los que se descompone el experimento.

El número de posibilidades se obtiene contando las ramas finales.




Abajo podrás encontrar un link para descargar un archivo con más información sobre
SISTEMAS COMBINATORIOS Y MÉTODOS DE CONTEO, así como ejemplos ya resueltos...





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EJEMPLOS DE TIPOS DE MUESTREO

Para ver algunos ejemplos de tipos de muestreos...

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TIPOS DE MUESTREO Y TAMAÑO DE MUESTRA

Muestreo probabilístico
Consiste en elegir una muestra de una población al azar. Podemos distinguir varios tipos de muestreo:


Muestreo aleatorio simple
Para obtener una muestra, se numeran los elementos de la población y se seleccionan al azar los n elementos que contiene la muestra.


Muestreo aleatorio sistemático
Se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes, se eligen los demás hasta completar la muestra.
Por ejemplo si tenemos una población formada por 100 elementos y queremos extraer una muestra de 25 elementos, en primer lugar debemos establecer el intervalo de selección que será igual a 100/25 = 4. A continuación elegimos el elemento de arranque, tomando aleatoriamente un número entre el 1 y el 4, y a partir de él obtenemos los restantes elementos de la muestra.
2, 6, 10, 14,..., 98



Muestreo aleatorio estratificado
Se divide la población en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un número de individuos de cada estrato proporcional al número de componentes de cada estrato.
En una fábrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la sección A, 150 en la B, 150 en la C y 100 en la D.






Un muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita.


TIPOS DE MUESTREO Y TAMAÑOS DE MUESTRA

La distribución de la suma de variables aleatorias tiende a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana o curva de Gauss o campana de Gauss) cuando la cantidad de variables es muy grande.
Teorema: Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria

tiene aproximadamente una distribución normal con y .
También se cumple que si

tiene aproximadamente una distribución normal con y , cuanto más grande sea el valor de n, mejor será la aproximación.
El teorema del límite central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande.
Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.
La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema del límite central" ("central" califica al límite, más que al teorema).
Este teorema, perteneciente a la teoría de la probabilidad, encuentra aplicación en muchos campos relacionados, tales como la inferencia estadística o la teoría de renovación.


Para mostrar la validez del teorema del limite central veamos el siguiente ejemplo

Suponga que de una población consistente en los valores 0, 2, 4, 6 y 8, se toman muestras de tamaño 2 con remplazo.

X Frecuencia Frecuencia Relativa
0 1 1/5 = .2
2 1 1/5 = .2
4 1 1/5 = .2
6 1 1/5 = .2
8 1 1/5 = .2

Solución:

1. Paso
Se calcula la media poblacional, la varianza y desviación estándar poblacional.


2. Paso

Gráfica de la distribución de frecuencia para la población



Esta gráfica no puede considerarse acampanada o normal.
3. Paso
Se toman muestras de tamaño dos con remplazo.

Muestra Muestra Muestra
0, 0 0 4, 0 2 8, 0 4
0, 2 1 4, 2 3 8, 2 5
0, 4 2 4, 4 4 8, 4 6
0, 6 3 4, 6 5 8, 6 7
0, 8 4 4, 8 6 8, 8 8
2, 0 1 6, 0 3
2, 2 2 6, 2 4
2. 4 3 6, 4 5
2, 6 4 6, 6 6
2, 8 5 6, 8 7


4. Paso
Se agrupa a las medias muéstrales en la tabla de frecuencia siguiente:

F
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 4
6 3
7 2
8 1

5. Paso
Se calcula la media poblacional de medias , la varianza de la medias y desviación estándar de las medias ó error estándar de las medias.


6. Paso
Gráfica de la distribución de frecuencia para la población de medias maestrales



7. Paso
Conclusión
De la apariencia acampanada de la distribución de las medias, concluimos que es razonable aproximar la distribución muestral de por una distribución normal, una vez que se conoce la media y la desviación estándar de la distribución muestral.



INTERVALOS DE CONFIANZA



(χ ̃- Z_(∝/2)∙ σ/√n ,χ ̃+ Z_(∝/2)∙ σ/√n)

P (χ ̃- Z_(∝/2)∙ σ/√n ≤μ ≤ χ ̃+ Z_(∝/2)∙ σ/√n)=1- ∝
1- ∝ =nivel de confianza.- mide la probabilidad que se tiene de que la media poblacional μ pertenezca al intervalo de confianza.
∝ = nivel de confianza o de riesgo. Este es el dato que nos suelen dar.
Hallar Z_(∝∕2) con un nivel de significacion o riesgo del 5%.
Una confianza del 95% comporta un riesgo del 5%. Esto significa que en cada 100 muestreos, cabe esperar que cinco de ellos den resultados erroneos.
Z_(∝∕2)⇒ se halla igual que en el tema de muestreo.
∝ =0.05 1- ∝ = .95 ∝/2=0.025
Buscamos dentro de la tabla normal el valor
0.95 + 0.025 = 0.975 ---> Z_(∝∕2)=1.96
Error maximo admitido E. semiamplitud del intervalo
E= Z_(∝∕2 ) ∙ σ/√n ⇒ (χ ̃- Z_(∝/2)∙ σ/√n ,χ ̃+ Z_(∝/2)∙ σ/√n) ⇒(x ̌-error;x ̃+error)
Tamaño de la muestra n
E=Z_(∝/2)∙σ/√n⇒√n=(Z_(∝/2)∙σ)/E⇒(√n)^2=((Z_(∝/2)∙σ)/E)^2⇒n=((Z_(∝/2)∙σ)/E)^2
El tamaño n es un numero entero positivo, si nos sale una solucion con decimales el tamaño se redondea al numero natural siguiente.
Ejemplo: n=180.32≈181, n=176.6≈177

Ejemplos.-
1.-Para una muestra de 30 alumnos se obtuvo una nota media en el ultimo examen de matematicas de χ ̃=5.83, con una desviación típica σ=1.92. Determina el intervalo de confianza al 80%. Interpreta el resultado.
Datos: n=30 x ̃=5.83 σ=1.92

Intervalo de confianza al 80%
-calculamos Z_(∝∕2) para un 80%

1-∝=0.8⇒ ∝=0.2 ⇒ ∝/2=0.1 ⇒0.8+0.1=0.9

Buscamos el valor 0.9 dentro de la tabla.
Los dos próximos son:
0.8997  1.28 Y 0.90151.29 ⇒Z_(∝∕2)=(1.28+1.29)/2=1.285⇒Z_(∝∕2)=1.285

Aplicamos la formula(χ ̃- Z_(∝/2)∙ σ/√n ,χ ̃+ Z_(∝/2)∙ σ/√n)

(5.83-1.285∙1.92/√30 ;5.83+1.285∙1.92/√30)→ (5.83-.45 ;5.83+.45)

Intervalo: (5.38 y 6.28)
Interpretación:
La estimación de la nota media de la población es de 5.83
Admitimos un error máximo de ± .45. Por tanto aceptamos como valido cualquier valor que este entre 5.38 y 6.28.
La seguridad que tenemos de lo que decimos es del 80%; esto es, la probabilidad de acierto es 0.80; en consecuencia la de fallo es de 0.2





Ejemplos.-
2.- El peso medio de una muestra de 100 recien nacidos es de 3200g. Sabiendo que la desviación típica de los pesos de la población de recién nacidos es de 150g. Halla el intervalo de confianza para la media poblacional con una significación de 0.05.
Datos: n=100 x ̃=3200 σ=0.05
-calculamos Z_(∝∕2)
∝=0.05→1-0.05=0.95 → ∝/2=0.05/2=0.025→ 0.95+0.025=0.975→ Z_(∝∕2)=1.96
Aplicamos la formula
(3200-1.96∙150/√100 ;3200+1.96∙150/√100)→ (3200-29.4 ;3200+29.4)=(3170.6 y 3229.4)


Admitimos un error maximo de ±29.4. Por tanto aceptamos como valido cualquier valor que este entre 3170.6 y 3229.4.
La seguridad que tenemos de lo que decimos es del 95%; esto es la probabilidad de acierto es 0.95; en consecuencia la de fallo es de 0.05.









Ejemplos.-
3.- se desea realizar una investigación para estimar el peso medio de los recién nacidos de madres fumadoras. Se admite error máximo de 50g. Con una confianza del 95%. Si por estudios anteriores se sabe que la desviación típica del peso medio de tales recién nacidos es de 400g. ¿Qué tamaño mínimo de muestra se necesita en la investigación?
1-∝=0.9 E=50g. σ=400g.
Calculamos Z_(∝∕2)para un 95%
1-0.05=0.95→ ∝=0.05→ ∝/2= 0.05/2=0.0.25
0.95+0.025=0.975  Z_(∝∕2) = 1.96
Aplicamos la formula del tamaño
n=((Z_(∝⁄2)∙σ)/E)^2→ n=((1.96-400)/50)^2=245.86
Tamaño mínimo de la muestra sería de n=246









Ejemplos.-
4.- La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es de 8cm. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1cm. Con un nivel de confianza al 90%.
1-∝=0.90 E=1cm σ=8cm

Calculamos Z_(∝∕2)para un 90%
1-0.05=0.90 → ∝=0.1

∝/2=0.1/2=0.5 → 0.90+0.05=0.95 → Z_(∝∕2)=1.645

Aplicamos la formula del tamaño
n=((Z_(∝∕2)-σ)/E)^2→ n=((1.645-8)/1)^2=173.18

El tamaño mínimo de la muestra debe ser n= 174